В кино актриса начала сниматься еще будучи студенткой театрального училища. "В тринадцатом часу ночи" – первый фильм Дрожжиной, и ей тут же удалось поработать с легендарными артистами – Спартаком Мишулиным и Анатолием Папановым. В 1970-е Наталью часто приглашали в кино, однако роли, в основном, ей доставались небольшие.
Зрители помнят Дрожжину по небольшому эпизоду в "Семнадцати мгновениях весны", "Интердевочке" и "Ищу человека". При этом фраза "Не виноватая я! Он сам пришел!" в "Бриллиантовой руке" могла прозвучать именно из уст Натальи, которая считалась одной из первых советских красавиц.
По словам Дрожжиной, ее уговаривал сам Гайдай, однако ей пришлось отказаться из-за запрета матери, передает "7 дней". Тогда роль отдали Светлане Светличной – она и стала визитной карточкой блондинки.
О личной жизни актрисы известно не много. Больше 40 лет она замужем за Михаилом Цивиным. Артистка признавалась, что счастлива жить с одним мужчиной столько лет. Детей у супругов нет, однако они никогда не говорили, по какой причине.