Ребенок воспитывался матерью и отчимом, потому что родной отец сразу после рождения сына покинул семью.
Любовь к театру и кино Армен «впитал с молоком матери», и уже в школьные годы утвердился в желании стать артистом. Но, несмотря на это, попытка поступления после школы в ГИТИС в 1953 году не удалась, и Джигарханян был вынужден вернуться в Ереван. Здесь в 1954 году он поступил в Ереванский художественно-театральный институт. Дебютом для него стала работа в постановке по пьесе В.Гусева «Иван Рыбаков». В этой труппе Армен Джигарханян работал около десяти лет.
В Московский театр Ленком Джигарханян поступил по приглашению Анатолия Эфроса в 1967 году, а через два года работы перешел в Московский театр имени В.Маяковского. Здесь и прошла его основная театральная деятельность в качестве артиста, которая длилась почти три десятилетия. В 1996 году Джигарханян покинул этот театр, но продолжал играть в антрепризах других театров.
Кинематографическая деятельность актера стартовала работой в фильме «Обвал» 1960 года, но популярность в кино к Джигарханяну пришла после роли Артёма Манвеляна в фильме «Здравствуй, это я!». После выхода этой картины предложениям принять участие в съёмках в кино не было счёта. «Треугольник», «Когда наступает сентябрь», «Новые приключения неуловимых», «Операция „Трест“», «Шестое июля», «Журавушка», «Место встречи изменить нельзя», «Здравствуйте, я Ваша тетя!», «Собака на сене», «Тегеран-43», «Али-Баба и сорок разбойников», «Жизнь Клима Самгина», «Бесы», «Ширли-мырли», «Московские каникулы», «Три мушкетера», «Руд и Сэм», «Главный конструктор» - это лишь малый список фильмов, в которых снялся Армен Борисович.
Всего он сыграл в кино более двухсот пятидесяти разноплановых ролей в фильмах лучших советских и российских режиссёров, в лентах различных жанров, будучи одним из самым снимаемых российских актёров.
Помимо актерской карьеры в 1991-1996 годах Джигарханян занимался преподавательской деятельностью во ВГИКе и в том же 1996 году основал Московский драматический театр под руководством Армена Джигарханяна – Театр «Д», который сразу занял особое место среди столичных театров.
Народный артист СССР, РСФСР и Армении, лауреат различных государственных, кинематографических, театральных и общественных премий, он был награжден различными орденами и медалями.
Армен Борисович Джигарханян скончался 14 ноября 2020 года в Москве на 86-м году жизни.