Мягков родился 8 июля 1938 года в Ленинграде. Окончил химико-технологический институт, в одном из любительских спектаклей его заметил педагог Школы-студии МХАТ. В 1965 году он получил диплом этого учебного заведения и стал актером театра "Современник". В 1977 году перешел во МХАТ.
Большая популярность пришла к артисту после выхода фильма Эльдара Рязанова "Ирония судьбы, или С легким паром" в 1975-м, где ему досталась роль Жени Лукашина. После этого журнал "Советский экран" выбрал его лучшим актером года.
Мягков также сыграл в кино Алешу в "Братьях Карамазовых", Алексея в "Днях Турбиных", Новосельцева в "Служебном романе", Хвостова в "Гараже", Карандышева в "Жестоком романсе" и др.
Также он увлекался портретной живописью и писал детективные романы.